Kombinacija črk, znakov in številk v matematičnih operacijah je znana kot algebrski izrazi. Običajno črke predstavljajo neznane količine in jih imenujemo spremenljivke ali neznanke. Algebrski izrazi omogočajo prevode v matematične jezikovne izraze običajnega jezika. Algebrski izrazi izhajajo iz obveznosti prevajanja neznanih vrednosti v številke, ki so predstavljene s črkami. Podružnica matematike, ki je odgovorna za preučevanje teh izrazov, v katerih se pojavljajo številke in črke, pa tudi znaki matematičnih operacij, je Algebra.
Kaj so algebrski izrazi
Kazalo
Kot smo že omenili, te operacije niso nič drugega kot kombinacija črk, številk in znakov, ki se kasneje uporabljajo pri različnih matematičnih operacijah. V algebrskih izrazih imajo črke vedenje številk, in ko se uvedejo tak način, se uporablja med eno in dvema črkama.
Ne glede na izraz, ki ga imate, najprej poenostavite, to dosežete z uporabo lastnosti operacij, ki so enakovredne numeričnim lastnostim. Če želite najti številčno vrednost algebrske operacije, morate črko nadomestiti z določeno številko.
Na teh izrazih je mogoče izvesti veliko vaj, ki jih bomo izvedli v tem poglavju, da bi izboljšali razumevanje zadevne teme.
Primeri algebrskih izrazov:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
Algebrski jezik
Algebrski jezik je tisti, ki za predstavljanje številk uporablja simbole in črke. Njegova glavna naloga je vzpostaviti in strukturirati jezik, ki pomaga posploševati različne operacije, ki potekajo znotraj aritmetike, kjer se pojavljajo samo števila in njihove osnovne aritmetične operacije (+ -x%).
Cilj algebrskega jezika je vzpostaviti in oblikovati jezik, ki pomaga posploševati različne operacije, ki so razvite v aritmetiki, pri čemer se uporabljajo samo števila in njihove osnovne matematične operacije: seštevanje (+), odštevanje (-), množenje (x) in delitev (/).
Za algebrski jezik je značilna natančnost, saj je veliko bolj konkreten kot numerični jezik. Skozi to lahko stavke izrazimo na kratko. Primer: množica večkratnikov 3 je (3, 6, 9, 12…) je izražena 3n, kjer je n = (1, 2, 3, 4…).
Omogoča vam izražanje neznanih števil in izvajanje matematičnih operacij z njimi. Na primer, vsota dveh števil je izražena tako: a + b. Podpira izražanje splošnih numeričnih lastnosti in razmerij.
Primer: komutativna lastnost je izražena tako: axb = bx a. Pri pisanju s tem jezikom lahko z neznanimi količinami manipuliramo s preprostimi simboli za pisanje, kar omogoča poenostavitev izrekov, oblikovanje enačb in neenakosti ter študij, kako jih rešiti.
Algebrski znaki in simboli
V algebri se v teoriji množic uporabljajo tako simboli kot znaki, ki predstavljajo ali predstavljajo enačbe, nize, matrice itd. Črke so izražene ali imenovane kot spremenljivke, saj se ista črka uporablja pri drugih težavah in njena vrednost najde različne spremenljivke. Nekateri klasifikacijski algebrski izrazi vključujejo naslednje:
Algebrski ulomki
Algebrski ulomek je znan kot tisti, ki ga predstavlja količnik dveh polinoma, ki kažeta podobno vedenje kot številski ulomki. V matematiki lahko s temi ulomki delate tako, da množite in delite. Zato je treba izraziti, da je algebrski ulomek predstavljen s količnikom dveh algebrskih izrazov, pri čemer je števec dividenda, imenovalec pa delitelj.
Med lastnostmi algebrskih ulomkov je mogoče poudariti, da če se imenovalec deli ali pomnoži z enako različno ničlo, ulomek ne bo spremenjen. Poenostavitev algebrskega ulomka je sestavljena iz njegovega pretvorbe v ulomek, ki ga ni več mogoče zmanjšati, kar je potrebno za faktor polinomev, ki sestavljajo števec in imenovalec.
Klasifikacijski algebrski izrazi se odražajo v naslednjih vrstah: enakovreden, preprost, pravilen, nepravilen, sestavljen iz števca ali ničelnega imenovalca. Potem bomo videli vsakega od njih.
Ekvivalenti
S tem vidikom se soočamo, kadar je navzkrižni produkt enak, torej kadar so rezultati frakcij enaki. Na primer, od teh dveh algebrskih ulomkov: 2/5 in 4/10 bo enakovredno, če je 2 * 10 = 5 * 4.
Preprosto
So tisti, pri katerih števec in imenovalec predstavljata celoštevilne racionalne izraze.
Lastno
So preprosti ulomki, pri katerih je števec manjši od imenovalca.
Neprimerno
So preprosti ulomki, pri katerih je števec enak ali večji od imenovalca.
Sestavljen
Oblikujejo jih en ali več ulomkov, ki se lahko nahajajo v števcu, imenovalcu ali obeh.
Ničelni števec ali imenovalec
Pojavi se, ko je vrednost 0. V primeru, da ima ulomek 0/0, bo nedoločen. Pri uporabi algebrskih ulomkov za izvajanje matematičnih operacij je treba upoštevati nekatere značilnosti operacij s številskimi ulomki, na primer za začetek je treba najti najmanjši skupni večkratnik, če so imenovalci različnih števk.
Tako pri deljenju kot pri množenju se operacije izvajajo in izvajajo enako kot pri številskih ulomkih, saj jih je treba predhodno poenostaviti, kadar je to mogoče.
Enomi
Monomials so široko uporabljeni algebrski izrazi, ki imajo konstanto, imenovano koeficient, in dobesedni del, ki je predstavljen s črkami in ga je mogoče dvigniti v različne moči. Na primer, monom 2x² ima za koeficient 2, x² pa je dobesedni del.
Dobesedni del lahko večkrat sestavlja množenje neznank, na primer v primeru 2xy. Vsaka od teh črk se imenuje nedoločena ali spremenljiva. Monom je vrsta polinoma z enim samim izrazom, poleg tega obstaja možnost, da je pred podobnimi monomi.
Elementi monoma
Glede na monom 5x ^ 3; Razlikujejo se naslednji elementi:
- Koeficient: 5
- Dobesedni del: x ^ 3
Zmnožek monoma je koeficient, ki se nanaša na število, ki se pojavi z množenjem dobesednega dela. Običajno je postavljen na začetek. Če ima zmnožek monoma vrednost 1, ni zapisan in nikoli ne more biti nič, saj bi imel celoten izraz vrednost nič. Če je treba vedeti nekaj o monomskih vajah, je to:
- Če monom manjka koeficient, je enak enoti.
- Če kateri koli izraz nima eksponenta, je enak enemu.
- Če kateri koli dobesedni del ni prisoten, vendar je potreben, se upošteva z eksponentom nič.
- Če se nič od tega ne strinja, potem se ne soočate z monomalnimi vajami, lahko bi celo rekli, da enako pravilo obstaja pri vajah med polinomi in monomi.
Seštevanje in odštevanje monomov
Da bi lahko izvedli vsote med dvema linearnima monoma, moramo obdržati linearni del in dodati koeficiente. Pri odštevanjih dveh linearnih monomov je treba linearni del vzdrževati, tako kot v vsotah, da se odštejejo koeficienti, nato se koeficienti pomnožijo in z enakimi osnovami dodajo eksponente.
Množenje monomov
To je monom, katerega koeficient je zmnožek ali rezultat koeficientov, ki imajo dobesedni del, dobljen z množenjem potenc, ki imajo popolnoma enako osnovo.
Delitev monomov
Nič drugega kot drug monom, katerega koeficient je količnik dobljenih koeficientov, ki ima poleg tega tudi dobesedni del, dobljen iz delitev med potencami, ki imajo popolnoma enako osnovo.
Polinomi
Ko govorimo o polinomih, se sklicujemo na algebrsko operacijo seštevanja, odštevanja in urejenega množenja iz spremenljivk, konstant in eksponentov. V algebri ima lahko polinom več kot eno spremenljivko (x, y, z), konstante (cela števila ali ulomki) in eksponente (ki so lahko le pozitivna cela števila).
Polinomi so sestavljeni iz končnih členov, vsak izraz je izraz, ki vsebuje enega ali več od treh elementov, s katerimi so sestavljeni: spremenljivke, konstante ali eksponenti. Na primer: 9, 9x, 9xy so vsi izrazi. Drug način za prepoznavanje pojmov je, da jih ločimo s seštevanjem in odštevanjem.
Če želite rešiti, poenostaviti, dodati ali odšteti polinome, morate izraze združiti z enakimi spremenljivkami kot na primer izraze z x, izraze z "y" in izraze, ki nimajo spremenljivk. Pomembno je tudi pogledati znak pred izrazom, ki bo določal, ali seštevati, odštevati ali množiti. Izrazi z enakimi spremenljivkami so združeni, dodani ali odšteti.
Vrste polinoma
Število izrazov, ki jih ima polinom, bo pokazalo, za katero vrsto polinoma gre, na primer, če obstaja enočlenski polinom, potem je pred monomom. Jasen primer tega je ena od polinomskih vaj (8xy). Obstaja tudi dvočlenski polinom, ki se imenuje binom in se identificira z naslednjim primerom: 8xy - 2y.
Končno je polinom treh členov, ki jih poznamo kot trinome in jih prepoznamo z eno od polinomskih vaj 8xy - 2y + 4. Trinomi, so vrsta algebrskega izraza, ki ga tvori vsota ali razlika treh členov oz. monomi (podobni monomi).
Pomembno je tudi govoriti o stopnji polinoma, kajti če gre za eno spremenljivko, je največji eksponent. Stopnjo polinoma z več spremenljivkami določa izraz z največjim eksponentom.
Seštevanje in odštevanje polinoma
Vsota polinov vključuje kombiniranje izrazov. Podobni izrazi se nanašajo na monoma, ki imajo isto spremenljivko ali spremenljivke, dvignjene na isto stopnjo.
Obstajajo različni načini za izvajanje polinomskih izračunov, vključno z vsoto polinoma, ki jih lahko izvedemo na dva različna načina: vodoravno in navpično.
- Dodajanje polinoma vodoravno: uporablja se za izvajanje operacij vodoravno, za redundanco, vendar se najprej napiše polinom, nato pa mu sledi v isti vrstici. Po tem se zapiše drugi polinom, ki ga bomo sešteli ali odšteli in na koncu združili podobne izraze.
- Navpična vsota polinoma: dosežemo jo tako, da prvi polinom napišemo na urejen način. Če je to nepopolno, je pomembno, da vrzeli v manjkajočih izrazih ostanejo proste. Nato je naslednji polinom napisan tik pod prejšnjim, na ta način bo izraz, podoben zgornjemu, spodaj. Na koncu se doda vsak stolpec.
Pomembno je dodati, da je treba za seštevanje dveh polinov dodati koeficiente členov iste stopnje. Rezultat dodajanja dveh izrazov iste stopnje je še en izraz iste stopnje. Če v kateri koli stopnji manjka katerikoli izraz, ga lahko dopolnimo z 0. In običajno so razvrščeni od najvišje do najnižje stopnje.
Kot je bilo omenjeno zgoraj, je za izvedbo vsote dveh polinomov treba dodati le izraze enake stopnje. Lastnosti te operacije so:
- Asociativne lastnosti: pri kateri se vsota dveh polinoma reši z dodajanjem koeficientov, ki spremljajo x-je, ki naraščajo do enake moči.
- Komutativna lastnost: ki spremeni vrstni red dodajanja in rezultata ni mogoče razbrati. Nevtralni elementi, katerih vsi koeficienti so enaki 0. Ko nevtralnemu elementu dodamo polinom, je rezultat enak prvemu.
- Nasprotno lastnost: tvori ga polinom, ki ima vse inverzne koeficiente skupnih koeficientov polinoma. tako je pri izvedbi operacije seštevanja rezultat ničelni polinom.
Glede odštevanja polinoma (operacije s polinomi) je nujno združevanje monomov glede na značilnosti, ki jih imajo, in začeti s poenostavitvijo podobnih. Operacije s polinomi se izvajajo tako, da se minusu doda nasprotje odštevalnika.
Drug učinkovit način za odštevanje polinoma je pisanje nasprotja vsakega polinoma pod drugim. Tako podobni monomi ostanejo v stolpcih in jih nadaljujemo z dodajanjem. Vseeno je, katera tehnika se izvaja, na koncu bo rezultat vedno enak, če bo pravilno opravljen.
Množenje polinoma
Množenje monomov ali vaje med polinomi in monomi, je operacija, ki se izvede za iskanje nastalega produkta, med monomom (algebrski izraz, ki temelji na množenju števila in črko, dvignjeno na pozitivno celoštevilčno eksponento) in drugo izraz, če je to neodvisen izraz, drug monom ali celo polinom (končna vsota monoma in neodvisnih členov).
Kot pri skoraj vseh matematičnih operacijah ima tudi množenje polinoma vrsto korakov, ki jih je treba upoštevati pri reševanju predlagane operacije, ki jih lahko povzamemo v naslednjih postopkih:
Najprej pomnožite monom z njegovim izrazom (pomnožite znake vsakega od njegovih izrazov). Po tem se vrednosti koeficientov pomnožijo in ko se v tej operaciji najde vrednost, se doda dobesedno besedilo monomilov, ki jih najdemo v izrazih. Nato je vsak rezultat zapisan po abecednem vrstnem redu in nazadnje dodan vsak eksponent, ki se nahaja v osnovnih literalih.
Polinomska delitev
Znana tudi kot Ruffinijeva metoda. Omogoča nam delitev polinoma z binomom in tudi iskanje korenin polinoma, da ga razdelimo na binome. Z drugimi besedami, ta tehnika omogoča razdelitev ali razgradnjo algebrskega polinoma stopnje n v algebraični binom in nato v drug algebraični polinom stopnje n-1. Da bi bilo to mogoče, je treba poznati ali poznati vsaj eno od korenin edinstvenega polinoma, da je ločevanje natančno.
Učinkovita tehnika je delitev polinoma z binomom oblike x - r. Ruffinijevo pravilo je poseben primer sintetične delitve, kadar je delilec linearni faktor. Ruffinijevo metodo je leta 1804 opisal italijanski matematik, profesor in zdravnik Paolo Ruffini, ki je poleg iznajdbe slavne metode, imenovane Ruffinijevo pravilo, ki pomaga najti koeficiente rezultata razdrobljenosti polinoma s binom; To tehniko je odkril in oblikoval tudi na približnem izračunu korenin enačb.
Kot vedno, tudi ko gre za algebraično operacijo, Ruffinijevo pravilo vključuje vrsto korakov, ki jih je treba opraviti, da se v tem primeru doseže želeni rezultat: poiščite količnik in ostanek, ki sta delitev katere koli vrste polinoma in a binoma oblike x + r.
Najprej je treba pri zagonu operacije pregledati izraze, da se preveri ali ugotovi, ali so res obravnavani kot polinomi in binomi, ki se odzivajo na pričakovano obliko z metodo Ruffinijevega pravila.
Ko so ti koraki preverjeni, je polinom razvrščen (v padajočem vrstnem redu). Po tem koraku se upoštevajo le koeficienti členov polinoma (do neodvisnega), ki jih postavijo v vrsto od leve proti desni. Nekaj presledkov je ostalo za potrebne izraze (samo v primeru nepopolnega polinoma). Znak na kuhinji je nameščen na levi strani vrstice, ki je sestavljena iz koeficientov dividendnega polinoma.
V levi del galerije nadaljujemo s postavitvijo neodvisnega izraza binoma, ki je zdaj delilec in je njegov znak inverzen. Neodvisnik se pomnoži s prvim koeficientom polinoma in se tako vpiše v drugo vrstico pod prvim. Nato se prvi koeficient odšteje drugi koeficient in zmnožek neodvisnega monomijskega člana.
Neodvisni člen binoma se pomnoži z rezultatom prejšnjega odštevanja. Toda poleg tega je postavljen v drugo vrstico, kar ustreza četrtemu koeficientu. Operacija se ponavlja, dokler niso doseženi vsi pogoji. Tretja vrstica, ki je bila pridobljena na podlagi teh množenj, se upošteva kot količnik, z izjemo njegovega zadnjega obdobja, ki se šteje za preostanek delitve.
Rezultat se izrazi, spremlja vsak koeficient spremenljivke in stopnjo, ki ji ustreza, pri čemer jih začne izražati z nižjo stopnjo od tiste, ki so jo imeli prvotno.
- Preostali izrek: gre za praktično metodo, s katero delimo polinom P (x) z drugim, katerega oblika je xa; pri katerem se dobi le vrednost ostanka. Če želite uporabiti to pravilo, sledite naslednjim korakom. Polinomsko dividendo zapišemo brez dokončanja ali urejanja, nato spremenljivko x dividende nadomestimo z nasprotno vrednostjo neodvisnega člana delitelja. In končno, operacije se rešujejo v kombinaciji.
Izrek o ostanku je metoda, s katero lahko dobimo ostanek algebrske delitve, pri kateri pa ni treba deliti.
- Ruffinijeva metoda: Ruffinijeva metoda ali pravilo je metoda, ki nam omogoča, da delimo polinom z binomom, in nam omogoča tudi iskanje korenin polinoma za faktor binoma. Z drugimi besedami, ta tehnika omogoča razdelitev ali razgradnjo algebrskega polinoma stopnje n na algebraični binom in nato na drug algebraični polinom stopnje n-1. Da bi bilo to mogoče, je treba poznati ali poznati vsaj eno od korenin edinstvenega polinoma, da je ločevanje natančno.
- Polinomske korenine: korenine polinoma so določena števila, zaradi katerih je polinom vreden nič. Lahko tudi rečemo, da bodo celotne korenine polinoma celoštevilskih koeficientov delitelji neodvisnega izraza. Ko rešimo polinom, enak nič, dobimo korenine polinoma kot rešitve. Kot lastnosti korenin in dejavniki polinoma lahko rečemo, da so ničle ali korenine polinoma delilci neodvisnega izraza, ki pripada polinomu.
To nam omogoča, da na primer ugotovimo preostanek delitve polinoma p (x) z drugo obliko xa. Iz tega izreka izhaja, da je polinom p (x) deljiv s xa le, če je a koren polinoma, le če in samo, če je p (a) = 0. Če je C (x) količnik in R (x) je ostanek delitve katerega koli polinoma p (x) z binomom, ki bi bil (xa) številčna vrednost p (x), za x = a je enak ostanku njegove delitve z xa.
Potem bomo rekli, da: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). Na splošno je za preostank delitve z Xa primerneje uporabiti Ruffinijevo pravilo kot nadomestiti x. Zato je preostanek izreka najprimernejša metoda za reševanje problemov.
V matematičnem svetu je Ruffinijevo pravilo učinkovita tehnika delitve polinoma z binomom oblike x - r. Ruffinijevo pravilo je poseben primer sintetične delitve, kadar je delilec linearni faktor.
Ruffinijevo metodo je leta 1804 opisal italijanski matematik, profesor in zdravnik Paolo Ruffini, ki je poleg iznajdbe slavne metode, imenovane Ruffinijevo pravilo, ki pomaga najti koeficiente rezultata razdrobljenosti polinoma s binom; To tehniko je odkril in oblikoval tudi na približnem izračunu korenin enačb.
Nato za vsak koren, na primer, tipa x = a ustreza binoma tipa (xa). Polinoma je mogoče izraziti v faktorjih, če ga izrazimo kot zmnožek ali vseh dvomerov tipa (xa), ki ustrezajo koreninam x = a, ki izhajajo. Upoštevati je treba, da je vsota eksponentov binoma enaka stopnji polinoma, prav tako je treba upoštevati, da bo vsak polinom, ki nima neodvisnega izraza, priznal kot koren x = 0, drugače pa bo priznal kot X faktor.
Polinom bomo imenovali "prime" ali "nesvodljiv", kadar ni možnosti, da bi ga razdelili na faktorje.
Če se poglobimo v temo, moramo biti nazorni glede temeljnega izreka algebre, ki pravi, da je dovolj, da ima polinom v nestalnih spremenljivih in kompleksnih koeficientih toliko korenin, kolikor je njihova stopnja, saj imajo korenine večkratnost. To potrjuje, da ima katera koli algebrska enačba stopnje n kompleksnih rešitev. Polinom stopnje n ima največ n pravih korenin.
Primeri in vaje
V tem odseku bomo postavili nekaj rešenih algebrskih izrazov za vsako od tem, zajetih v tem prispevku.
Vaje z algebrskimi izrazi:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Vsota polinoma
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Odštevanje polinoma
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Polinomska delitev
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 in
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Algebrski izrazi (binomski kvadrat)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
Preostali izrek
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Množenje monomov
axnbxm = (ab) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Delitev monomov
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 in
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
-6 v2. c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Seštevanje in odštevanje monomov
Vaja: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Rešitev: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
