Algebra je veja matematike, ki uporablja številke, črke in znake, da se nanašajo na različne aritmetičnih operacij. Danes se algebra kot matematični vir uporablja v odnosih, strukturah in količini. Elementarna algebra je najpogostejša, saj uporablja aritmetične operacije, kot so seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje, saj za razliko od aritmetike najpogosteje uporablja simbole, kot je xy, namesto da uporablja številke.
Kaj je algebra
Kazalo
Prav ta veja pripada matematiki, ki omogoča razvoj in reševanje aritmetičnih problemov s črkami, simboli in številkami, ki pa simbolizirajo predmete, predmete ali skupine elementov. To omogoča oblikovanje operacij, ki vsebujejo neznana števila, imenovana neznanke, in omogoča razvoj enačb.
Preko algebre je človek lahko računal na abstrakten in splošen način, vendar tudi bolj napreden, s pomočjo bolj zapletenih izračunov, ki so jih razvili matematični in fizični intelektualci, kot so Sir Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707- 1783), Pierre de Fermat (1607-1665) ali Carl Friedrich Gauss (1777-1855), po zaslugi katerih prispevkov imamo definicijo algebre, kot jo poznamo danes.
Vendar je bil po zgodovini algebre Diofant Aleksandrijski (datum rojstva in smrti neznan, domnevno naj bi živel med 3. in 4. stoletjem) dejansko oče te veje, saj je objavil delo z naslovom Arithmetica, ki je Sestavljen je bil iz trinajstih knjig in v njih je predstavil probleme z enačbami, ki čeprav niso ustrezale teoretičnemu značaju, ustrezajo splošnim rešitvam. To je pomagalo opredeliti, kaj je algebra, med številnimi prispevki pa je bila uporaba univerzalnih simbolov za predstavitev neznanega znotraj spremenljivk problema, ki ga je bilo treba rešiti.
Izvor besede "algebra" prihaja iz arabščine in pomeni "obnova" ali "prepoznavanje". Podobno ima svoj pomen v latinščini, kar ustreza "redukciji", in čeprav niso enaki izrazi, pomenijo isto.
Kot dodatno orodje za preučevanje te veje lahko računate na algebrski kalkulator, ki je kalkulator, ki lahko prikazuje algebrske funkcije. Če na ta način med drugim omogočamo integracijo, izpeljavo, poenostavitev izrazov in grafov, izdelavo matric in reševanje enačb, čeprav je to orodje primernejše za višjo raven.
Znotraj algebre je algebrski izraz, ki je zmnožek številskega faktorja vsaj ene črkovne spremenljivke; v katerem je mogoče vsakemu izrazu razlikovati njegov številski koeficient, njegove spremenljivke, predstavljene s črkami, in stopnjo izraza pri dodajanju eksponentov dobesednih elementov. To pomeni, da bo za algebraični izraz p5qr2 koeficient enak 1, njegov dobesedni del bo p5qr2, njegova stopnja pa 5 + 1 + 2 = 8.
Kaj je algebrski izraz
Je izraz, sestavljen iz celoštevilčnih konstant, spremenljivk in algebrskih operacij. Algebrski izraz je sestavljen iz znakov ali simbolov in je sestavljen iz drugih posebnih elementov.
V osnovni algebri in v aritmetiki so algebrske operacije, ki se uporabljajo za reševanje problemov: seštevanje ali seštevanje, odštevanje ali odštevanje, množenje, deljenje, opolnomočenje (množenje večkratnika krat) in radikacijo (inverzno delovanje potenciranja).
Znaki, uporabljeni pri teh operacijah, so enaki kot v aritmetiki za seštevanje (+) in odštevanje (-), vendar se za množenje X (x) nadomesti s piko (.) Ali pa jih lahko predstavimo z znaki za združevanje (primer: cd in (c) (d) sta enakovredni elementu "c", pomnoženemu z elementom "d" ali cxd), v algebrski delitvi pa sta uporabljeni dve točki (:).
Uporabljajo se tudi znaki za razvrščanje, na primer oklepaji (), oglati oklepaji, oklepaji {} in vodoravni trakovi. Uporabljajo se tudi znaki razmerja, ki označujejo povezavo med dvema podatkoma, med najbolj uporabljenimi pa so enaki (=), večji od (>) in manjši od (<).
Zanje je značilna tudi uporaba realnih števil (racionalna, ki vključujejo pozitivna, negativna in nič; in iracionalna, ki so tista, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomki) ali kompleksna, ki so del resničnih, ki tvorijo algebrajsko zaprto polje.
To so glavni algebrski izrazi
Obstajajo izrazi, ki so del koncepta, kaj je algebra, ti izrazi pa so razvrščeni v dve vrsti: monomi, to so tisti, ki imajo en dodatek; in polinome, ki ima dva (binoma), tri (trinome) ali več seštevanja.
Nekaj primerov monomov bi bilo: 3x, π
Medtem ko so nekateri polinomi lahko: 4 × 2 + 2x (binom); 7ab + 3a3 (trinom)
Pomembno je omeniti, da če je spremenljivka (v tem primeru "x") v imenovalcu ali znotraj korena, izrazi ne bi bili monomi ali polinomi.
Kaj je linearna algebra
To področje matematike in algebre preučuje koncepte vektorjev, matric, sistemov linearnih enačb, vektorskih prostorov, linearnih transformacij in matric. Kot je razvidno, ima linearna algebra različne aplikacije.
Njegova uporabnost se razlikuje od preučevanja prostora funkcij, ki so tiste, ki jih določa množica X (vodoravno) do množice Y (navpično) in se uporabljajo za vektorske ali topološke prostore; diferencialne enačbe, ki funkcijo (vrednost, ki je odvisna od druge vrednosti) povežejo z njenimi izpeljankami (trenutna hitrost spremembe, zaradi katere se vrednost dane funkcije spreminja); operacijske raziskave, ki za napredno odločanje uporabljajo napredne analitične metode; na inženiring.
Eno glavnih osi preučevanja linearne algebre najdemo v vektorskih prostorih, ki jih tvorijo množica vektorjev (odseki črte) in množica skalarjev (realna, konstantna ali kompleksna števila, ki imajo velikost, vendar ne značilnost vektorja smeri).
Glavni končnorazsežni vektorski prostori so trije:
- V vektorji v Rn, ki predstavljajo kartezijske koordinate (vodoravne osi x in navpična os Y).
- Za matrike, ki so pravokotni sistemski izrazi (predstavljeni s številkami ali simboli), je značilno število vrstic (običajno predstavljenih s črko "m") in število stolpcev (označenih s črko "n") in uporabljajo se v znanosti in inženirstvu.
- Vektorski prostor polinomov v iste spremenljivke, ki jo polinomov, ki ne presega stopnjo 2, imajo realne koeficiente in jih najdemo na spremenljivko "x".
Algebrske funkcije
Nanaša se na funkcijo, ki ustreza algebrskemu izrazu, hkrati pa izpolnjuje polinomsko enačbo (njeni koeficienti so lahko monomi ali polinomi). Razvrščeni so med: racionalno, iracionalno in absolutno vrednost.
- Celoštevilne racionalne funkcije so tiste, izražene v:, kjer "P" in "Q" predstavljata dva polinoma in "x" spremenljivko, kjer se "Q" razlikuje od ničelnega polinoma in spremenljivka "x" ne prekliče imenovalca.
- Iracionalne funkcije, pri katerih izraz f (x) predstavlja radikal, kot je ta:. Če je vrednost "n" enakomerna, bo radikal definiran tako, da bo g (x) večji in enak 0, poleg tega pa mora biti naveden tudi znak rezultata, saj brez njega ne bi bilo mogoče govoriti o funkciji, saj za vsako vrednost "x" bi bila dva rezultata; če pa je indeks radikala nenavaden, slednji ni potreben, saj bi bil rezultat edinstven.
- Funkcije absolutne vrednosti, kjer bo absolutna vrednost realnega števila njegova številčna vrednost, ob čemer ostane njegov znak. Na primer, 5 bo absolutna vrednost 5 in -5.
Obstajajo eksplicitne algebraične funkcije, pri katerih bo spremenljivka "y" rezultat kombiniranja spremenljivke "x" omejeno številokrat z uporabo algebrskih operacij (na primer algebraičnega seštevanja), ki vključujejo višino potencijam in pridobivanju korenin; to bi pomenilo y = f (x). Primer te vrste algebraične funkcije je lahko naslednji: y = 3x + 2 ali kaj bi bilo enako: (x) = 3x + 2, saj je "y" izražen samo z "x".
Po drugi strani obstajajo implicitni, to so tisti, pri katerih spremenljivka "y" ni izražena le kot funkcija spremenljivke "x", torej y ≠ f (x). Kot primer te vrste funkcije imamo: y = 5x3y-2
Primeri algebrskih funkcij
Obstaja vsaj 30 vrst algebrskih funkcij, med najvidnejšimi pa so naslednji primeri:
1. Izrecna funkcija: ƒ () = sin
2. Implicitna funkcija: yx = 9 × 3 + x-5
3. Polinomska funkcija:
a) Konstanta: ƒ () = 6
b) Prva stopnja ali linearna: ƒ () = 3 + 4
c) Druga stopnja ali kvadratno: ƒ () = 2 + 2 + 1 ali (+1) 2
d) Tretja stopnja ali kubik: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9
4. Racionalna funkcija: ƒ
5. Potencialna funkcija: ƒ () = - 1
6. Radikalna funkcija: ƒ () =
7. Delovanje po odsekih: ƒ () = če je 0 ≤ ≤ 5
Kaj je Baldorova algebra
Ko govorimo o tem, kaj je Baldorova algebra, se sklicuje na delo, ki ga je razvil matematik, učitelj, pisatelj in pravnik Aurelio Baldor (1906-1978), ki je bilo objavljeno leta 1941. V profesorjevi publikaciji, ki se je rodil v Havani na Kubi, pregledanih je 5790 vaj, kar ustreza povprečno 19 vajam na test.
Baldor je objavil druga dela, kot so "Geometrija ravnin in vesolja", "Baldorska trigonometrija" in "Baldorjeva aritmetika", toda tisto, ki je imelo največji vpliv na tem področju, je "Baldor Algebra".
To gradivo pa je bolj priporočljivo za srednjo izobrazbo (na primer srednjo šolo), saj bi za višje stopnje (univerza) težko služilo kot dopolnilo drugim naprednejšim besedilom in glede na to raven.
Znamenita naslovnica s perzijskim muslimanskim matematikom, astronomom in geografom Al-Juarismijem (780–846) je pomenila zmedo med učenci, ki so uporabljali to slavno matematično orodje, saj se domneva, da gre za ta lik. njen avtor Baldor.
Vsebina dela je razdeljena na 39 poglavij in prilogo, ki vsebuje tabele izračunov, tabelo osnovnih oblik razgradnje faktorjev in tabele korenin in moči; in na koncu besedila so odgovori na vaje.
Na začetku vsakega poglavja je ilustracija, ki odraža zgodovinski pregled koncepta, ki bo razvit in razložen spodaj, ter omenja pomembne zgodovinske osebnosti na tem področju glede na zgodovinski kontekst, v katerem se referenca koncepta nahaja. Ti liki segajo od Pitagore, Arhimeda, Platona, Diofanta, Hipatije in Evklida do Renéja Descartesa, Isaaca Newtona, Leonarda Eulerja, Blasa Pascala, Pierre-Simona Laplacea, Johanna Carla Friedricha Gaussa, Maxa Plancka in Alberta Einsteina.
Zakaj je bila slava te knjige zaslužna?
Njegov uspeh je v tem, da je poleg slavnega obveznega literarnega dela v latinskoameriških srednjih šolah tudi najbolj posvečena in popolna knjiga na to temo, saj vsebuje jasno razlago konceptov in njihovih algebarskih enačb ter zgodovinske podatke o vidikih za študij, v katerem se obravnava algebrski jezik.
Ta knjiga je začetek par excellence za študente v algebrski svet, čeprav za nekatere predstavlja vir inspiracijskih študij, za druge pa se je boji, resnica pa je, da je obvezna in idealna bibliografija za boljše razumevanje zajetih tem..
Kaj je logična algebra
Angleški matematik George Boole (1815-1864) je ustvaril skupino zakonov in pravil za izvajanje algebrskih operacij do te mere, da je del njih dobil ime. Iz tega razloga, je angleški matematik in logician velja za enega od predhodnikov računalniške znanosti.
V logičnih in filozofskih problemih so zakoni, ki jih je razvil Boole, omogočili njihovo poenostavitev v dveh stanjih, ki sta resnično stanje ali lažno stanje, do teh zaključkov pa je prišlo na matematičen način. Nekateri izvedeni krmilni sistemi, kot so kontaktorji in releji, uporabljajo odprte in zaprte komponente, pri odprtem prevodniku in zaprtem pa ne. To je v logični algebri vse ali nič.
Takšna stanja imajo številčno predstavitev 1 in 0, pri čemer 1 predstavlja resnično, 0 pa napačno, kar olajša njihovo preučevanje. Glede na vse to lahko katero koli komponento katere koli vrste ali nič predstavlja logična spremenljivka, kar pomeni, da lahko predstavlja vrednost 1 ali 0, te predstavitve so znane kot binarna koda.
Bulova algebra omogoča poenostavitev logičnih vezij ali logičnega preklapljanja znotraj digitalne elektronike; tudi prek nje lahko izračune in logične operacije vezij izvedemo na bolj ekspresen način.
V logični algebri obstajajo trije temeljni postopki, in sicer: logični zmnožek, vrata AND ali presečišče; logična vsota, ALI vrata ali funkcija združevanja; in logična negacija, NE funkcija vrata ali komplementa. Obstaja tudi več pomožnih funkcij: logična negacija izdelka, vrata NAND; negacija logične vsote, NOR vrata; izključna logična vsota, vrata XOR; in negacija ekskluzivne logične vsote, vrata XNOR.
V logični algebri obstaja več zakonov, med katerimi so:
- Zakon o odpovedi. Imenuje se tudi zakon o odpovedi in pravi, da bo pri nekaterih vajah po postopku neodvisen izraz preklican, tako da bo (AB) + A = A in (A + B).
- Zakon o identiteti. Ali identitete elementov 0 in 1 določa, da bo spremenljivka, ki ji je dodan ničelni element ali 0, enaka spremenljivki A + 0 = A na enak način, kot če se spremenljivka pomnoži z 1, rezultat je enak A.1 = a.
- Neimpotentno pravo. Določa, da se določen ukrep lahko izvajajo večkrat in enak rezultat, tako da, če imate kombinacijo A + A = A, in če je disjunkcije AA = A.
- Komutativno pravo. To pomeni, da je A + B = B + A ne glede na vrstni red spremenljivk.
- Zakon dvojnega zanikanja. O involucijo, določa, da če je zanikanje neki drug zanikanje pozitiven rezultat, tako da (a ') = A.
- Morganov izrek. Pravijo, da bo vsota nekega števila zanikanih spremenljivk na splošno enaka zmnožku vsake zanikane spremenljivke neodvisno, torej (A + B) '= A'.B' in (AB) '= A' + B '.
- Distribucijsko pravo. Ugotavlja, da bo ob združitvi nekaterih spremenljivk, ki se bodo pomnožile z drugo zunanjo spremenljivko, enako kot množenje vsake spremenljivke, razvrščene po zunanji spremenljivki, na naslednji način: A (B + C) = AB + AC.
- Zakon o absorpciji. Pravi, da če spremenljivka A implicira spremenljivko B, potem spremenljivka A pomeni A in B, A pa bo "absorbiral" B.
- Pridružitveno pravo. Pri ločitvi ali pri združevanju več spremenljivk bo rezultat enak, ne glede na njihovo razvrščanje v skupine; tako da je v seštevku A + (B + C) = (A + B) + C (prvi element plus asociacija zadnjih dveh, je enaka asociaciji prvih dveh plus zadnja).
